I found an interesting math movie

I found an interesting math movie on YouTube site. The movie explains in English how to calculate the area of a triangle inside a rectangle. By watching this video, you can learn or review an example of geometry and also train yourself to listen to practical English.

20%増量のわらび餅を20%引きで買うと

中間試験対策で、当塾でも無料の長時間を実施している。塾生たちにも軽食を用意しているが、小生自身も軽く食べることにしている。小生が最近ハマっているのは、わらび餅である。球形をした半透明の粘り気のある餅の集合体に、黄な粉と黒糖を塗して食べるものである。
値段も税込みで130円未満で買えるものであるが、期間限定で20%増量となっていて、消費期限の近づいたものは20%引きや半額で売られていることもある。これは、増量無しで割引のされていないものと比べて、どれくらいお得なのであろうか?

まずは20%増量について考えてみよう。何昔か前なら、100円で100本買える飴があった。これが20%増量されれば、
100 + 100 x 0.20 = 100 + 20 =120(本)
に増える。つまり、100円で120本買えることになり、1本あたりの金額は
100 ÷ 120 = 0.833---(円)
さらに、これが20%引きになるのであるから、
100 ÷ 120 x (1 - 0.20) = 0.666---(円)
となり、単位当たりの金額は元々の3分の2へ下落する。元と同じ金額を支出した場合には、2分の3倍、つまり1.5倍の量を購入できることになり、生活の中でコストパフォーマンスを最優先する小生にピッタリの選択だといえる。

文字を用いて式を一般化すれば、
a ÷ (120/100) x (80/100) = 2a/3
が a円を元にした金額であり、
もしも20%増量されたものを半額で買えれば、
a ÷ (120/100) x (1/2) = a x (5/6) x (1/2) = 5a/12
が a円を元にした金額であることになる。つまりは、12個分を5個分のお金で買えることになる。
 

ゼロを利用して単純化する

　数学の場合と同様に、我々の日常生活でもゼロを用いて単純化している。小生は仕事や他の所用で宿泊する場合に、１拍6000円を超える宿泊施設には泊まらないことにしているが、そう決めれば、6000円を超える宿泊施設はゼロ軒と同じことになる。つまりは、選択の範囲が絞れるのである。その中で他の諸々の条件を決めればよいことになる。
　数学の場合には要所でゼロが出て来る。因数分解を用いた二次方程式の解法や、因数定理を用いた高次式の因数分解、さらには導関数を用いた関数の頂点の座標の導出などにゼロは重要な役割を果たしている。

　ということで、今日の高校生の数学の三角関数のグラフであるが、Y=sin2(Θ+π/3) のようなグラフでは、2(Θ＋π/3)=0 のとき、sin0°=0となるわけで、Θ=-π/3 のとき、つまりは Θ=300°のときyの値はゼロをとることになる。あとはこの式の右辺を展開したときの Θの係数は 2であるから、この関数のグラフの周期はπ、つまり300°+180°=480° [実際には120°]のときに1周することになる。
　このように考えれば、単純化させてすっきり理解することができる。

今日は辛抱強く

秒速〇メートルを時速△キロメートルに直す作業は、小学5年生で学ぶ学習内容であるが、中学生になっても苦手にする子は多い。
まずは3600倍してから1000で割ればよいのだか、計算自体もかなり面倒である。F君、今日は辛抱強く勉強したね。

分数

算数・数学の中でも、分数はとくに重要な基本的な学習分野である。中学生になって文字式と方程式を学習する場合に、単なる分数のある文字式と分数のある等式 (=を挟む文字式) とでは、当然分数の扱いが違ってくる (等式の方がバリエーションが広がる) のであるが、そもそも分数自体がしっかり理解できていない場合には、分数のある文字式と等式の違いを正しく理解できない。
高校の数学では、分数が出来ていないと理解は絶望に近い。

同じ目が複数回出る確率

サイコロを3回投げて、2の目が2回、それ以外の目が1回出る確率を求める。
2の目が出る確率は6分の1、2ではない目が出る確率は6分の5であるから、2→2→他 と目が出る確率は 1/6 × 1/6 × 5/6 = 5/216 なのだが、
2→2→他、2→他→2、他→2→2 の３パターンがあるから、3 × 5/216 すなわち 5/72 がその確率になる。
これは、6択問題で3問中2問が正当で1問が不正等になる確率と同じである。(ただし、すべてデタラメに選択をする場合に限るが。) これをもう少しスマートに導出するなら、
3C2 × 1/6 × 1/6 × 5/6
という式で求められる。同様にして、5問中3問正当になる確率は
5C3 × 1/6 × 1/6 × 1/6 × 2C2 × 5/6 × 5/6
という式で求められる。その確率は、なんと、3888分の125であり、約3.2% である。(とはいえ、計算上は100人中3人には幸運の女神が微笑むことになる。)

立方体の色塗りの一色固定

 　昨日の高校数学の問題から。

　立方体の各面に６色の色を一回ずつ使って、色を塗るパターンはいくつあるか? という問いで、一つの面に一色を固定させ５色で考えるのは何故か。
　たとえば、黒・赤・青・黄・緑・白を使って塗るとする。どの色も一回使うので、とりあえず黒を最初に塗ることにする。どの面に塗っても、回転させれば上面に来るので、上面に黒を塗ることにする。そうすれば、あとは残りの５色を各面に塗るパターンを考えればよいことになる。これが、一色固定のいみである。
　どの色も必ず使う。だから、或る一色(たとえば黒)も必ず使う。それは６面のどこに塗っても良いのであるが、回転させればどこに塗っても同じ位置(例えば上面)に来る。だから、その面(上面)に黒がある場合だけを考えれば、あとは残りの５色で考えればよい。
　これが一色固定が成立する原理であるが、ネット上を検索しても明快な説明がなかった。この原理は、立方体に４色を隣り合わずに塗る場合にも使える。たとえば、黒・赤・青・白で塗るとすると、黒は必ず使うから上面に黒を固定して、下面も黒の場合と下面が他の色の場合に分けて考えれば、

となり、

と同じ結果になる。

必要条件と十分条件

　今日は塾(学習塾)の宣伝も兼ねて、数学(論理学)の「必要条件・十分条件」について書いてみる。

「上尾市の住民は埼玉県の住民である」
というような文を論理学では「命題」(proposition)と呼ぶ。
さらに、「上尾市の住民は埼玉県の住民である」という命題は、
「ある人(x)が上尾市の住民である」
「ある人(x)が埼玉県の住民である」
という２つの命題に分解でき、前の方の命題を「前件」(antecedent....the first half of a hypothetical proposition)、後ろの方の命題を「後件」(consequent....the second half of a hypothetical proposition)と呼ぶ。

中学校の数学では、この前件の部分を「仮定」、後件の部分を「結論」として取り扱っている。すなわち、
「ある人(x)が上尾市の住民である」ならば、「ある人(x)が埼玉県の住民である」
という形で。
この場合、「ある人(x)が埼玉県の住民である」ことは、「ある人(x)が上尾市の住民である」という条件無しにも可能である。(例えば、桶川市や伊奈町の住民であってもよい。)
そうではあるが、「ある人(x)が上尾市の住民である」という命題が成立すれば(「真」truth ならば)、それだけで「ある人(x)が埼玉県の住民である」という命題は必然的に「真」になる。それだけで、もう十分である。
であるから、「ある人(x)が上尾市の住民である」という命題は、「ある人(x)が埼玉県の住民である」という命題の「十分条件(sufficient condition)である。

他方、「ある人(x)が埼玉県の住民である」という命題が成立する(「真」である)ことは、「ある人(x)が上尾市の住民である」という命題が成立するために不可欠な条件である。なぜなら、(北海道か何処かに住んでいて)埼玉県の住民ではないが、上尾市の住民ではあるという人は、存在しないからである。であるから、「ある人(x)が埼玉県の住民である」という命題は、「ある人(x)が上尾市の住民である」という命題の「必要条件」(necessary condition)である。

「m = 3 であるとき ㎡ = 9」
という命題においては、
m = 3 は ㎡ = 9 の「十分条件」(m = -3 でもよいが、m = 3 であれば十分であるから)であり、
㎡ = 9 は m = 3 の「必要条件」(9 以外の数になってはいけないから)である。

さらには、「必要十分条件」(necessary and sufficient condition)という条件も存在する。
例としては、
「△ABCにおいてAB = BC = CA ならば、△ABCにおいて∠A =∠B =∠C」
という命題を挙げることができる。この命題では、「前件」の「△ABCにおいて、AB = BC = CA 」と「後件」の「△ABCにおいて、∠A =∠B =∠C」を入れ替えても命題全体は必ず「真」である。つまり、「前件」は「後件」のための「必要十分条件」であり、「後件」は「前件」のための「必要十分条件」である。

春日学習室のホームページ内の「数式のページ」も御覧ください。

微分を使って

　たまには、数学のことを書いてみる。
　一見、非常に簡単そうに見えるが、実は意外と奥が深い例について書いてみる。

　a + 2b = 4 という条件において、
　a² + b² が最小になる場合を考える。

　与式より、 a = 4 - 2b

　よって、 a² + b² = (4 - 2b)² + b²
                        = 16 - 16b +  4b² + b²
                        = 5b² - 16b + 16

　これを２次関数と考えれば、

　　　　　 f (b) = 5b² - 16b + 16

となり、b² の係数が正の数 5 なので、この関数は変域が定まらない場合には、最大値をもたずに最小値のみをもつことになる。
　そして、この最小値はこの関数を「微分」して、その導関数の値がゼロになるとき、元の関数は最小の値をとることになる。

　すなわち、導関数は

　　　　  f ' (b) = 5×2b -16×1

であるが、それが

          10b - 16 = 0
           5b - 8 = 0
             b = 8/5

のとき、a² + b² が最小になる。

　ここで、b = 8/5 であるから、

            a = 4 - 2×(8/5)
             = 4 - 16/5
             = 20/5 - 16/5
             = 4/5

となり、

　a² + b ² は

          16/25 + 64/25 = 80/25
                              = 16/5

となる。

マイナス×マイナス

　マイナス×マイナスがなぜプラスになるのか、ということを子どもたちにしっかり理解させるのは、簡単そうで大変な作業である。
　そこで、このページで説明してみたい。このページを訪れた方には参考にして戴きたい。

(-1)÷(-1) で考えてみたい。
この式は、-1/-1 = 1/1 = 1
すなわち、+1 になる。

ここで、1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = -3/-3  = π/π = a/a
というように、
分母と分子が同じならば、(無理数──すなわちπや√、虚数をも含めて) どんな数であっても約分して +1 になる。

　なんだ、それは割り算だ、と言う方がおられるかも知れないので、掛け算に適用可能なことを示そう。

1÷2 = 1×(1/2)
と変形できることは小学校で学習済みである。
そうであるなら、
(-1)÷(-2) = (-1)×(-1/2) である。
つまり、割り算は掛け算に変形できるのである。

ここで、
(-1)÷(-2) = -1/-2 = (-1×1) / (-1×2)
となり、マイナス１どうしを約分できるから、
この計算は 1/2 になる。
(-1)÷(-2) がプラスの数になるのなら、
等号で結ばれた (-1)×(-1/2) も同じプラスの数になる。